¿Qué requisitos debe cumplir un trabajador para solicitar el paro tras ser despedido?

Si un trabajador renuncia a su trabajo, entiendo que no tiene derecho a prestación por desempleo. Sin embargo, tengo dudas sobre el proceso si es contratado por otra empresa.

¿Es cierto que debe trabajar un período mínimo en la nueva empresa hasta que lo despidan para poder cobrar la prestación?

Por ejemplo, si lo despiden a la semana y ha cotizado durante un año, ¿puede solicitar el paro?

¿Es necesario que mantenga la relación laboral con la nueva empresa durante un mínimo de tiempo para poder solicitar el paro, o puede hacerlo inmediatamente si lo despiden?